【欧拉公式与闭曲面分类】欧拉示性数与闭曲面的分类

2017-05-20

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欧拉示性数与闭曲面的分类 一 平面上的几何变换与不变性 平面上几何图形的分类 ? 平移变换 平移变换:把直线变成直线,保持线段的长 度和夹角不变 ? 旋转变换 旋转变换:把直线变成直线,保持线段的长 度和夹角不变 ? 反射变换 反射变换:把直线变成直线,保持线段的长 度和夹角不变 一 平面上的几何变换与不变性 平面上几何图形的分类 ? 位似变换 位似变换:把点变成点,直线变成直线,保 持夹角不变,不能保持线段的长度,但对应 线段长度之比保持不变 ? 相似变换 相似变换:把点变成点,直线变成直线,保 持夹角不变,不能保持线段的长度,但对应 线段长度之比保持不变 ? 伸缩变换 伸缩变换:把点变成点,直线变成直线,不 能保持线段之比与夹角不变,但沿伸缩方向 对应线段之比保持不变。

这个几 何学分支只讨论与位置有关的关系,研究位置的性质,它 不去考虑长短大小,也不牵涉到量的计算,但是至今未有 过令人满意的定义,来刻划这门位置几何学的课题和方 法……” ? 拓扑学就是研究“位置的几何学”的数学分支,有人把它 形容为“橡皮泥的几何学”,也就是对一块“橡皮泥”可 以任意揉搓,不允许撕裂,也不允许粘连,在这种情况下, 研究“橡皮泥”有那些性质保持不变。

现在,拓扑学已经 发展成为一门成熟的数学分支,成为数学的基础学科。 六 欧拉公式与拓扑学 ? (1)一笔画问题 一笔画问题 一个图,如果存在一条道路,从某个顶点 出发,不重复地经过每一条边,我们把这 样的图称作可以一笔画的图。

这条道路称 作欧拉路。如果上面这条道路的起点和终 点相同则称这条道路为欧拉回路。 一笔画定理:一个图可以一笔画的充分必 要条件是:它是连通的并且奇顶点个数是0 或2。

六 欧拉公式与拓扑学 ? (2)四色问题 四色问题 “四色定理”猜想:把平面划分成任意互 不重叠的区域,总能用数字1,2,3,4来 分别标示每个区域,使得任意两个相邻的 区域都有不同的数字。

对四色问题,各区域的实际形状、大小、 边界的长短都不重要。重要的是各区域的 相互位置,也就是地图的拓扑结构。所以 四色问题是一个拓扑问题。 六 欧拉公式与拓扑学 ? (3)扭结 扭结 把一根绳子随意地打上一些结,然后再把 两端连结起来,这就是一条简单闭曲线。

空间中的简单闭曲线也叫扭结。 如何判断一个扭结是不是平凡的,如何判 断两个扭结是不是等价的,是一件很复杂 的事,要用到更多的数学工具。

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